분해(Partial Fraction)에 대하여 부분 분수

이제 기말고사가 2주 정도 남았다.
다들 아직 많이 남았다고 생각하지 말고 중간고사 참사를 생각하며 슬슬 준비를 시작하도록 하자!
오늘 배울 내용은 8.5 단원 부분의 분수 분해에 대한 내용이다.
새로운 진도는 언제나 스트레스지만, 이번은 다르다.
힘겨운 적분식이 난무하는 극악무도한 8단원 속에서 잠시 숨을 쉴 수 있는 쉼터 같은 단원이다.

지금까지 적분에 대해 알아보고 다양한 형태에 대해 적분의 방법을 알아봤다.
하지만 이번에는 좀 다르다.
지금까지 본 적이 없는 형태가 등장한다.
그래서 이러한 방법은 어떻게 적분하는지에 대해 배우는 단원이 지금 배우는 8단원이고, 그 방법 중 하나인 부분분수분해에 대해 알아보는 시간을 갖고 싶다!
부분분수분해(Partial Fraction)란? 부분분수분해란 분모가 인수분해 가능할 때 복잡한 형태의 분수를 작은 분수의 합 또는 차이로 나누는 것이다.
백문이 불여일견이라 그 일례를 들어보자.오른쪽 변에 있는 분수의 분모를 한번 보자.분모는 (x + 1)과 (x-1)의 곱으로 이루어진다.
너무 복잡하다.
그래서 ‘이 분수를’이라는 형태로 보다 쉽게 표현한 것이다.
이처럼 복잡한 형태의 분수를 더 간단한 분수의 합으로 나타내는 과정을 부분 분수 분해라고 한다.

오늘은 분수 분해의 세 가지 유형을 알아본다.
다음은 부분 분수 분해 과정을 좀 더 자세히 살펴보자.Type 1 : Linear Factors 처음에 살펴볼 형태는 Linear Factors이다.
문자 그대로 1차 함수로 구성된 함수를 부분 분수 분해하는 것이다.
아까 부분 분수 분해가 뭔지 알아보기 위해 나왔던 방식이다.
이 분수의 분모를 보면 두 개의 일차식 곱으로 나타나 있다.
이러한 분수의 형태를 Linear Factors라고 한다.
Linear Factors의 형태는 각각 Factor를 분모로 하는 분수의 합으로 나타내야 한다.
일단 상식을 분모가 각각 (x+1), (x-1)의 분수 형태로 나타내야 한다.
분자는 정수의 형태로 나타나지만, 아직 분자를 모르니까, 일단 A와 B로 나타내자. 일단 A와 B를 구하기 위해 우변의 2분을 통분하자.다시 원래 식에 넣으면 이렇게 돼.양변 분모가 같기 때문에 분자만 남겨주는. Linear Factors의 형태를 푸는 방법에는 두 가지가 있다.
대학입시 방법과 전개 방법이다.
두 가지 방법으로 푸는 방법이 나뉜다.

우선 수능을 어떻게 봐야지.미지수가 2개이면 값을 구하기가 어렵다.
x의 위치에 적당한 숫자를 넣어서 없애주면 된다고 생각한다.
x의 자리에 -1을 넣고 B의 계수를 0으로 하고 A만 남기자.A 값을 구했다!
같은 방법으로 x의 위치에 1을 넣고 B도 구하자. A와 B의 값을 성공적으로 구했으니 원래의 식으로 대입하자.이번에는 전개의 방법으로 풀어보자.다시 아까 방법이 나뉘었던 부분으로 돌아가보자.전개 방법에서는 문자 그대로 전개한다.
이렇게 되면 각 변의 x의 계수와 정수항이 동일하다는 점을 이용하여 연립방정식을 세운다.
연립 방정식을 풀면

A = -2, B = 1과 아까와 같은 값이 나왔음을 알 수 있다.

여기서는 연립방정식을 푸는 과정을 생략하고 간단해 보이지만 분해하는 분수가 복잡할수록 시간이 너무 많이 걸리는 방법이다.
Type 2 : Repeated linear factors 이번에는 또 다른 형태의 분수를 분해해 보자.분수의 분모가 1차식 누승형으로 표시된 형식이다.
예를 한 번 보자.분모가 (x-1)의 거듭제곱 형태로 나타나 있다.
이러한 형태는 분모가 각각 본래의 분모에서 차수를 하나씩 뺀 식으로 나누어 풀면 된다.
x 말이 조금 복잡하지만 보면 이해할 수 있을 만큼 이해할 수 있을 것이다.
분모가 각각 본래의 분모인 x-1과 차수를 하나 뺀 x-1로 만들어 풀었다.
여기서 알아야 할 것은, 분자는 앞에서 배운 “linear factors” 형태와 마찬가지로 정수이다.
아까와 같이 오른쪽 변을 통분해서 분자만 남기자. 이번에는 대학입시 방법으로만 풀어본다.
x의 위치에 1을 넣자.B의 값을 구했으므로 다시 넣는다.
x는 A를 구하기 쉽게 2에 놓는다.
A와 B의 값을 원래의 식에 넣다.
Type 3 : Quaddratic factor which cannot be factorised 이번에는 분모를 인수분해했을 때 한 인수의 차수가 2인분수를 분해해 보게 된다.
언뜻 보면 첫 번째 형식은 Linear factors와 같아 보이지만 뭔가 다르다.
분모의 차수가 2인분수를 보면 분자의 차수가 1이다.
하지만 푸는 방법은 같으니 걱정하지 말자.우변을 통분하여 분자만을 남겨두자. x에 적절한 수를 넣어서 A, B, C를 구하자.A, B, C 원래 식에 넣자실생활활용예로이렇게우리가세가지유형의부분분수분해를공부해봤다.
이렇게 해서 우리가 구한 음식을 실생활에 어떻게 이용할 수 있을까?영희:철수야!
나 좀 도와줘.

철수: 왜 저래?

영희: 내가 그림을 그리고 있어.그래서 선을 하나 그었는데 이 선 의식을 구하고 싶어그러나, 이 선의 그래프의 도함수가 (5x^2+20x+6)/(x^3+2x^2+x)인 것 밖에 모른다.

철수: 그럼 그 도함수를 적분하면 되잖아.

영희:근데 이건 내가 지금까지 배운 적분법으로 풀 수 있을 것 같지 않아.

철수:연희야!
너는 아직 Partial Fractions에 대해서 배우지 않았구나내가 하는 거 잘 봐봐.철수: 여기서 Partial fraction을 사용해야 한다.

철수: A,B,C,D를 원하는 부분은 너무 길어서 생략할게.분해하면 이렇게 되는구나.철수:여기서 할 수 있지?

영희: 어!
할 수 있을 것 같아!
영희: 와!
내가 그린 선 그래프를 알게 되었어!
!
!
Partial fraction을 이용하면 내가 풀 수 있을 것 같던 적분식도 풀 수 있겠네.아 맞다!
이제 적분식이 복잡하지만, 분모를 인수분해 할 수 있다면 Partial fraction을 사용해서 풀어봐!
- Partial fraction이 이렇게 실생활에 도움이 될 줄은 몰랐어!
– 정말 신기하지?너무 억지라고 생각하느냐?하지만 지금 배우는 내용은 대학과정이기 때문에 실생활에서 쓸 만한 것이 적다는 것을 이해해 달라.그래도 이런 상황을 살다 보면 한번쯤은 마주볼 수도 있지 않을까.

마지막 기독교 세계관과 느낀 점=이번 단원을 배우면서 이 Partial fraction이 하나님의 모습과 정말 닮았다고 생각했다.
우리들이 살다 보면 큰 시련에 봉착한다.
이런 시련이 닥쳤을 때 우리는 스스로의 힘으로 해결하려다 좌절하곤 한다.
그러나 우리가 약하다는 것을 깨닫고 하나님 앞에 나아가 힘을 구하면 어떤 시련이라도 이겨낼 수 있는 힘을 우리에게 준다.
적분식도 마찬가지다.
원본의 기본 적분 공식만을 사용해서는 문제를 해결할 수 없다.
Partial fraction을 활용해야만 이 문제를 해결할 수 있다.

이번 단원을 배우면서 지금까지 배운 개념보다 이해하기 쉬웠던 것 같다.
이번 단원에 관한 문제를 풀 때의 열쇠는 Partial fraction을 사용해야 풀 수 있는 적분식인지 구별하는 것인 것 같다.
시간이 부족하면 대충 알 수 있는 적분 공식을 시도하기보다는 형태를 잘 분석하고 어떤 방법을 쓰면 풀 수 있을까를 고민하는 시간을 갖는 것이 필요하다고 본다.
프린트된 문제는 모두 해결될 수 있을 것 같은데, 여기서 더 적분식이 복잡해지면 많은 시간이 소요될 것을 두려워한다.
이상으로 포스팅을 마친다.